Jak rozwiązywać zadania z grawitacji na maturze - 7 schematów

Grawitacja na maturze - dlaczego warto opanować ten dział?

Grawitacja jest jednym z działów obowiązkowego zakresu fizyki rozszerzonej. Warto ćwiczyć różne modele z tego działu, ale częstość z wybranych arkuszy nie gwarantuje liczby punktów ani obecności podobnego zadania na kolejnym egzaminie.

Na stronie fizykana100.pl znajdziesz pełny kurs przygotowujący do matury, w tym szczegółowe omówienie każdego schematu z zadaniami do samodzielnego rozwiązania. Tutaj pokażemy Ci 7 najważniejszych schematów i wyjaśnimy, jak je stosować krok po kroku.

Schemat 1: Siła grawitacji między dwoma ciałami

To najbardziej podstawowy schemat. Korzystasz z prawa powszechnego ciążenia:

F = G * M * m / r^2

gdzie G to stała grawitacji (6,67 * 10^(-11) N*m^2/kg^2), M i m to masy ciał, a r to odległość między ich środkami.

Typowe zadanie maturalne: oblicz siłę grawitacji między Ziemią a Księżycem, wiedząc że masa Ziemi wynosi 5,97 * 10^24 kg, masa Księżyca 7,35 * 10^22 kg, a odległość między nimi to 3,84 * 10^8 m.

Rozwiązanie krok po kroku:

• Zapisz dane: M = 5,97 * 10^24 kg, m = 7,35 * 10^22 kg, r = 3,84 * 10^8 m
• Podstaw do wzoru: F = 6,67 * 10^(-11) * 5,97 * 10^24 * 7,35 * 10^22 / (3,84 * 10^8)^2
• Oblicz: F = 1,98 * 10^20 N

Typowy błąd: Mylenie r z promieniem planety. W prawie powszechnego ciążenia r to odległość między środkami mas, nie między powierzchniami!

Schemat 2: Natężenie pola grawitacyjnego

Natężenie pola grawitacyjnego w odległości r od środka ciała o masie M:

g = G * M / r^2

Na powierzchni planety r = R (promień planety), więc przyspieszenie grawitacyjne na powierzchni to g = G * M / R^2.

Ten schemat pozwala porównywać przyspieszenia grawitacyjne na różnych planetach. Jeśli znasz masę i promień planety, od razu obliczysz g na jej powierzchni.

Przykład maturalny: Na pewnej planecie przyspieszenie grawitacyjne na powierzchni jest 2 razy mniejsze niż na Ziemi. Masa tej planety jest 4 razy mniejsza od masy Ziemi. Ile wynosi promień tej planety w stosunku do promienia Ziemi?

Rozwiązanie: Z wzoru g = G*M/R^2 wynika, że g_p/g_Z = (M_p/M_Z) * (R_Z/R_p)^2. Podstawiając: 1/2 = 1/4 * (R_Z/R_p)^2, więc (R_Z/R_p)^2 = 2, czyli R_p = R_Z / sqrt(2). Promień planety jest sqrt(2) razy mniejszy od promienia Ziemi.

Schemat 3: Ruch po orbicie kołowej (satelita)

To jeden z najczęstszych schematów na maturze. Satelita krąży po orbicie kołowej, więc siła grawitacji pełni rolę siły dośrodkowej:

G * M * m / r^2 = m * v^2 / r

Po uproszczeniu (m się skraca!) dostajemy prędkość orbitalną:

v = sqrt(G * M / r)

Z tego wzoru wynikają ważne wnioski: prędkość na orbicie nie zależy od masy satelity i maleje ze wzrostem promienia orbity. Im dalej od planety, tym wolniej krąży satelita.

Okres obiegu wyznaczamy z warunku v = 2 * pi * r / T, co daje:

T = 2 * pi * r * sqrt(r / (G * M))

albo równoważnie T^2 = (4 * pi^2 / (G * M)) * r^3, co jest III prawem Keplera dla orbit kołowych.

Schemat 4: Prawa Keplera

III prawo Keplera wiąże okres obiegu z półosią wielką orbity:

T1^2 / T2^2 = a1^3 / a2^3

gdzie T to okres obiegu, a to półoś wielka orbity (dla orbity kołowej a = r).

Ten schemat stosujemy, gdy mamy dane o dwóch ciałach krążących wokół tego samego centrum (np. dwie planety wokół Słońca lub dwa satelity wokół Ziemi) i znamy trzy z czterech wielkości (T1, T2, a1, a2).

Przykład: Okres obiegu Marsa wynosi 1,88 roku. Odległość Ziemi od Słońca to 1 AU. Oblicz odległość Marsa od Słońca.

Rozwiązanie: T_Z = 1 rok, T_M = 1,88 roku, a_Z = 1 AU. Z III prawa Keplera: a_M^3 = a_Z^3 * (T_M/T_Z)^2 = 1 * 1,88^2 = 3,53. Stąd a_M = 3,53^(1/3) = 1,52 AU.

Typowy błąd: Zapominanie, że III prawo Keplera dotyczy ciał krążących wokół TEGO SAMEGO centrum. Nie można porównywać Księżyca (krąży wokół Ziemi) z Marsem (krąży wokół Słońca) jednym wzorem.

Schemat 5: I i II prędkość kosmiczna

I prędkość kosmiczna to minimalna prędkość, żeby ciało krążyło tuż nad powierzchnią planety po orbicie kołowej:

v_I = sqrt(G * M / R) = sqrt(g * R)

Dla Ziemi: v_I = sqrt(9,81 * 6,37 * 10^6) = 7,9 km/s.

II prędkość kosmiczna to minimalna prędkość, żeby ciało opuściło pole grawitacyjne planety (poleciało w nieskończoność):

v_II = sqrt(2 * G * M / R) = sqrt(2) * v_I

Dla Ziemi: v_II = 11,2 km/s.

II prędkość kosmiczną można wyprowadzić z zasady zachowania energii: E_k + E_p = 0 (na granicy ucieczki energia kinetyczna w nieskończoności wynosi 0, a potencjalna też 0). Stąd: (1/2) * m * v_II^2 - G * M * m / R = 0.

Schemat 6: Energia na orbicie

Energia potencjalna grawitacyjna w odległości r od środka ciała o masie M:

E_p = -G * M * m / r

Uwaga na znak minus! Energia potencjalna jest zawsze ujemna (przyjmujemy, że w nieskończoności E_p = 0).

Energia kinetyczna satelity na orbicie kołowej: E_k = (1/2) * m * v^2 = G * M * m / (2 * r)

Energia całkowita na orbicie kołowej: E_c = E_k + E_p = -G * M * m / (2 * r)

Ważna zależność: E_k = -E_c = -(1/2) * E_p. Ta relacja jest bardzo przydatna w zadaniach maturalnych - jeśli znasz jedną z tych energii, natychmiast wyznaczysz pozostałe.

Przykład: Satelita krąży po orbicie o promieniu 2R (R - promień Ziemi). Jaka energia jest potrzebna, żeby przenieść go na orbitę 3R?

Rozwiązanie: Zmiana energii to Delta E = E_c(3R) - E_c(2R) = -G*M*m/(6R) - (-G*M*m/(4R)) = G*M*m*(1/12R) = G*M*m/(12R).

Schemat 7: Porównywanie wielkości grawitacyjnych

Przykład zadania porównawczego: "Jak zmieni się siła grawitacji, gdy odległość wzrośnie 3 razy?" lub "Na jakiej wysokości nad powierzchnią Ziemi natężenie pola spadnie do 1/4 wartości na powierzchni?"

Klucz do tych zadań: zapisz wzór dla obu sytuacji i podziel stronami.

Przykład: Na jakiej wysokości h nad powierzchnią Ziemi przyspieszenie grawitacyjne wynosi g/4?

Rozwiązanie: g_h = G*M/(R+h)^2, g = G*M/R^2. Dzielimy: g_h/g = R^2/(R+h)^2 = 1/4. Stąd (R+h)^2 = 4R^2, R+h = 2R, h = R. Na wysokości równej promieniowi Ziemi przyspieszenie spada do 1/4.

Typowe błędy w zadaniach z grawitacji

• **Mylenie promienia orbity z wysokością nad powierzchnią** - promień orbity to R + h, gdzie R to promień planety, a h to wysokość. W prawie ciążenia i wzorach orbitalnych zawsze używamy odległości od ŚRODKA planety
• **Zapominanie o znaku energii potencjalnej** - energia potencjalna grawitacyjna jest ujemna. Jeśli wychodzi Ci dodatnia, coś poszło nie tak
• **Stosowanie g = 9,81 m/s^2 na dużych wysokościach** - wartość 9,81 jest słuszna tylko na powierzchni Ziemi. Na orbicie g jest mniejsze
• **Porównywanie orbit wokół różnych planet** - III prawo Keplera działa tylko dla ciał krążących wokół tego samego centrum

Jak ćwiczyć zadania z grawitacji?

Nasz kurs na fizykana100.pl zawiera dziesiątki zadań z grawitacji pogrupowanych według schematów. Rekomendujemy:

• Zacznij od schematu 1 i 2 - to fundament
• Przejdź do schematu 3 (satelity) - to najczęstszy typ zadań maturalnych
• Ćwicz schematy 4-7 na zadaniach z prawdziwych matur
• Na koniec rozwiązuj mieszane zadania, gdzie trzeba połączyć kilka schematów

Pamiętaj: na maturze z fizyki liczy się nie tyle wiedza o wzorach, co umiejętność rozpoznania schematu i poprawnego przeprowadzenia obliczeń. Każde zadanie z grawitacji da się przypisać do jednego z tych 7 schematów.

Twórcy kursu Fizykana100